大家如果办过贷款，尤其是房贷的话，相信对等额本息不会陌生。与等额本息同时出现的，还有等额本金。本文先详细介绍等额本息，后面再介绍等额本金等。 等额本息指的是还款期限内，每个月还款额（包括本金和利息）固定，其中本金部分逐月递增，利息部分逐月递减。 如果手边有贷款合同的话，翻开就会看到每月的还款额计算公式为： $$ 每月还款额 = \frac{借款本金 \cdot 月利率 \cdot (1 + 月利率)^{还款总期数}}{(1 + 月利率)^{还款总期数} - 1} $$ 举个实际的例子，比如贷款100万元，贷款期限为20年，贷款年利率为最新基准利率上浮20%，也就是5.88%，那么代入公式得到每月还款额为7095.25元。 $$ 每月还款额 = \frac{1000000 \cdot 5.88\%/12 \cdot (1 + 5.88\%/12)^{240}}{(1 + 5.88\%/12)^{240}-1} = 7095.25 $$ 好的，到现在为止，至少就有了 3 个问题： 每月还款额的公式是怎么推导出来的？ 每月还款额里本金和利息分别是多少？ 用年利率除以 12 得到月利率是否合理？ 下面来逐个分析。 每月还款额公式推导 不妨假设贷款额，也就是本金为 $v$, 月利率为 $r$, 借款期数为 $n$, 每月还款额为 $x$. 则可以列出下表。 期数 本金+利息 还款 剩余本金+利息 $1$ $v\cdot(1+r)$ $x$ $S_1 = v\cdot(1+r) - x$ $2$ $S_1\cdot(1+r)$ $x$ $S_2 = S_1\cdot(1+r)-x$ … … $x$ … $n$ $S_{n-1}\cdot(1+r)$ $x$ $ S_n = S_{n-1}\cdot(1+r)-x$ 从表中可以看出，第一期结束时，本金 $v$ 产生的利息为 $v \cdot r$，因此本金加利息为 $v\cdot(1+r)$ ，还款 $x$ 后，剩余金额为 $v\cdot(1+r) - x$，记为 $S_1$。依此类推，得到每期结束时的剩余金额 $S_i$，而要求的正是使得 $S_n = 0$ 的 $x$ 的值。不妨将 $S_n$ 展开，得到：

最近跟地图打交道，有个问题是判断点是否在某个多边形区域内（一般都是凸多边形）。 其实之前也知道一个算法：就是以要判断的点为起点，以区域的顶点为终点作线段或直线， 遍历所有区域顶点，判断直线扫过的角度，如果是360度，说明在区域内，否则就是在区域外。 这次学到了一个新的算法 PNPOLY，代码非常简练，如下： int pnpoly(int nvert, float *vertx, float *verty, float testx, float testy) { int i, j, c = 0; for (i = 0, j = nvert-1; i < nvert; j = i++) { if ( ((verty[i]>testy) != (verty[j]>testy)) && (testx < (vertx[j]-vertx[i]) * (testy-verty[i]) / (verty[j]-verty[i]) + vertx[i]) ) c = !c; } return c; } 该算法的核心思想就是：以测试点为起点，作一条水平的射线，判断该射线与多边形区域的边的交点个数，如果为奇数个，说明在区域内，否则就在区域外。 为什么能成立呢？可以这样考虑：多边形区域（不考虑有洞的情况）将空间分成了内外两个部分，如果测试点在空间内，那么作一条射线，至少会与边有一个交点，相交后就到了区域外。 如果再有一个交点，又到了区域内，以此类推。因此奇数个交点说明在区域内，偶数个说明在区域外。 更专业的证明可以参考 Jordan curve theorem。 理解了思想，就是具体实现了。这段代码的详细解释如下： for (i = 0, j = nvert-1; i < nvert; j = i++)

这段时间看《博弈与社会》，读到一个词 自证预言。还是贴一下英文原版的定义： The self-fulfilling prophecy is, in the beginning, a false definition of the situation evoking a new behavior which makes the original false conception come true. This specious validity of the self-fulfilling prophecy perpetuates a reign of error. For the prophet will cite the actual course of events as proof that he was right from the very beginning. 通俗来说，指的是一件错误或不可能发生的事情，由于预言的存在， 导致了一些新的行为产生，而这些行为又促使事情的发生朝着预言的方向而去， 从而使得最后预言成真。 概括起来就三个字：乌鸦嘴。 虽然乌鸦嘴是个贬义词，但自证预言这种现象本身是中立的， 重要的是看你在现实生活中如何应用它。 其实有很多自证预言的例子。比较著名的有希腊神话中俄狄浦斯的故事： 神谕表示俄狄浦斯会杀死他父亲，因此他父亲在他出生后就想杀死他， 然而奉命执行的牧人新生怜悯放过了他，最终在不知情的情况下， 他杀死了自己的父亲并娶了自己的母亲； 一些教育领域的实验也展示了类似的效应： 一些被告知高智商的学生在后来学习成绩突飞猛进，其实这些学生是随机挑选的； 还有一个搞笑的：上海一男子因造谣称自己因造谣而被拘留15日而被拘留15日。