大家如果办过贷款,尤其是房贷的话,相信对等额本息不会陌生。与等额本息同时出现的,还有等额本金。本文先详细介绍等额本息,后面再介绍等额本金等。

等额本息指的是还款期限内,每个月还款额(包括本金和利息)固定,其中本金部分逐月递增,利息部分逐月递减。

如果手边有贷款合同的话,翻开就会看到每月的还款额计算公式为:

$$ 每月还款额 = \frac{借款本金 \cdot 月利率 \cdot (1 + 月利率)^{还款总期数}}{(1 + 月利率)^{还款总期数} - 1} $$

举个实际的例子,比如贷款100万元,贷款期限为20年,贷款年利率为最新基准利率上浮20%,也就是5.88%,那么代入公式得到每月还款额为7095.25元。

$$ 每月还款额 = \frac{1000000 \cdot 5.88\%/12 \cdot (1 + 5.88\%/12)^{240}}{(1 + 5.88\%/12)^{240}-1} = 7095.25 $$

好的,到现在为止,至少就有了 3 个问题:

  1. 每月还款额的公式是怎么推导出来的?
  2. 每月还款额里本金和利息分别是多少?
  3. 用年利率除以 12 得到月利率是否合理?

下面来逐个分析。

每月还款额公式推导

不妨假设贷款额,也就是本金为 $v$, 月利率为 $r$, 借款期数为 $n$, 每月还款额为 $x$. 则可以列出下表。

期数 本金+利息 还款 剩余本金+利息
$1$ $v\cdot(1+r)$ $x$ $S_1 = v\cdot(1+r) - x$
$2$ $S_1\cdot(1+r)$ $x$ $S_2 = S_1\cdot(1+r)-x$
$x$
$n$ $S_{n-1}\cdot(1+r)$ $x$ $ S_n = S_{n-1}\cdot(1+r)-x$

从表中可以看出,第一期结束时,本金 $v$ 产生的利息为 $v \cdot r$,因此本金加利息为 $v\cdot(1+r)$ ,还款 $x$ 后,剩余金额为 $v\cdot(1+r) - x$,记为 $S_1$。依此类推,得到每期结束时的剩余金额 $S_i$,而要求的正是使得 $S_n = 0$ 的 $x$ 的值。不妨将 $S_n$ 展开,得到:

$$S_n = v\cdot (1+r)^n - x\cdot(1+r)^{n-1} -x\cdot(1+r)^{n-2} - \cdots -x$$

公式的后面是个等比数列,简化得到:

$$S_n = v\cdot(1+r)^n - x\cdot\sum_{i=0}^{n-1}(1+r)^i = v\cdot(1+r)^n - x\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}$$

令 $S_n = 0$ 得到

$$x = \frac{v\cdot r\cdot(1+r)^n}{(1+r)^n-1}$$

即为每月的还款额公式。

每月还款额里的本金和利息分别是多少

每月的还款额里一部分是本金,一部分是利息,其中,本金部分逐渐增加,利息部分随着剩余的本金减少而减少。那么,每个月的本金和利息的比例怎么分配呢?容易想到的是,可以在每个月将当前本金所产生的利息都还上,这样,利息部分就不会利滚利了,计算也较为简单了。其实确实是这样的,可以这样推导:

  1. 考虑最后一期,利息就是剩余的本金在当月所产生的利息
  2. 再考虑倒数第二期,由于最后一期没有当前期未还的利息,所以当期所还的利息正好是当前的剩余本金产生的利息
  3. 依此类推到第一期,利息部分就是所有本金在第一期产生的利息

于是,列出详细表格如下:

期数 当期本金 当月/归还利息 归还本金
$1$ $v$ $r\cdot v$ $x - r\cdot v$
$2$ $v\cdot(1+r)-x$ $r\cdot(v\cdot(1+r)-x)$ $(x-r\cdot v)\cdot(1+r)$
$3$ $v\cdot(1+r)^2-x\cdot((1+r)+1)$ $r\cdot(v\cdot(1+r)^2-x\cdot((1+r)+1))$ $(x-r\cdot v)\cdot(1+r)^2$
$4$ $v(1+r)^3-x\cdot\sum_{i=0}^{2}(1+r)^i$ $r\cdot(v(1+r)^3-x\cdot\sum_{i=0}^{2}(1+r)^i)$ $(x-r\cdot v)\cdot(1+r)^3$
$n$ $v\cdot(1+r)^{n-1}-x\cdot\sum_{i=0}^{n-2}(1+r)^i$ $r\cdot (v\cdot(1+r)^{n-1}-x\cdot\sum_{i=0}^{n-2}(1+r)^i)$ $(x-r\cdot v)\cdot(1+r)^{n-1}$

由上表可知,第 $k$ 期归还的本金和利息分别为:

$$ P_k = (x - r\cdot v)\cdot(1+r)^{k-1} = \frac{r\cdot v\cdot(1+r)^{k-1}}{(1+r)^n-1}$$

$$ I_k = x-P_k = \frac{r\cdot v\cdot((1+r)^n-(1+r)^{k-1})}{(1+r)^n-1}$$

由以上的公式可以得到,对于上面的例子,为期 20 年,年化贷款利率为 5.88% 的 100 万元贷款,详细的还款计划如下表所示。

期数 月供 月供本金 月供利息
1 7095.25 2195.25 4900.00
2 7095.25 2206.01 4889.24
3 7095.25 2216.82 4878.43
240 7095.25 7060.66 34.60

另外,可以很容易得到整个还款周期内的利息总额为下式,计算后的值为 702860。

$$ \sum_{k=1}^{n}I_k = n\cdot x - v = v\cdot(\frac{n\cdot r\cdot(1+r)^n}{(1+r)^n-1} - 1)$$

年利率除以12的到月利率是否合理

我认为是不太合理的,但谁让银行是规则的制定者呢,不合理咱也不能奈银行何。

还是刚才 $5.88\%$ 的年利率,我们看到,在上面的各个公式中,每期的利率是按照 $5.88\%/12 = 0.49\%$ 来计算的,而且是复利,也就是说,真实的年利率是 $(1+0.49\%)^{12} - 1 = 6.04\%$。

而如果真要实现了 $5.88\%$ 的年化利率,则月利率应该是 $\sqrt[12]{1+5.88\%}-1 = 0.47727\%$,按照这个利率计算的话,月供就降为 $7007.85$,少了 $87.4$ 元,能省了几顿午餐钱。嗯,邪恶的金融机构。